Quel nombre est le plus grand ? [math]123^{321}[/math] ou [math]320^{123}[/math] ?
Félicitations pour avoir ajouté une légère torsion à un type de question qui a submergé Quora ces derniers jours et m’a complètement énervé (et, sans aucun doute, beaucoup d’autres personnes).
Commençons par une question légèrement différente : quel nombre est le plus grand ? [math]123^{321}[/math] ou [math]321^{123}[/math] ?
[Oui, c’est exactement le type de question qui m’a agacé. Il est grand temps que nous arrêtions de répondre à de telles questions. Les affiches peuvent cesser d’être #@$%&£*, rechercher sur Quora des questions similaires et appliquer la méthode indiquée dans les nombreuses réponses similaires à ce jour.]
En prenant des journaux de base 3 des deux côtés, nous
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Quel nombre est le plus grand ? [math]123^{321}[/math] ou [math]320^{123}[/math] ?
Félicitations pour avoir ajouté une légère torsion à un type de question qui a submergé Quora ces derniers jours et m’a complètement énervé (et, sans aucun doute, beaucoup d’autres personnes).
Commençons par une question légèrement différente : quel nombre est le plus grand ? [math]123^{321}[/math] ou [math]321^{123}[/math] ?
[Oui, c’est exactement le type de question qui m’a agacé. Il est grand temps que nous arrêtions de répondre à de telles questions. Les affiches peuvent cesser d’être #@$%&£*, rechercher sur Quora des questions similaires et appliquer la méthode indiquée dans les nombreuses réponses similaires à ce jour.]
En prenant des logs en base 3 des deux côtés, on a :
- [math]321 log_3(123) = 321 log_3(3 times 41) = 321 log_3(3) + 321 log_3(41) = 321 + log_3(41)[/math]
- [math]123 log_3(321) = 123 log_3(3 times 107) = 123 log_3(3) + 123 log_3(107) = 123 + log_3(107)[/math]
As [math]27 < 41 < 81 Rightarrow log_3(27) < log_3(41) < log_3(81) Rightarrow log_3(3^3) < log_3(41) < log_3(3^4 )[/math]
[math]Rightarrow 3log_3(3) < log_3(41) < 4log_3(3) Rightarrow 3 < log_3(41) < 4[/math]
De même, [math]81 < 107 < 243 Rightarrow log_3(3^4) < log_3(107) < log_3(3^5) Rightarrow 4 < log_3(107) < 5[/math]
En appliquant ceci à 1., nous avons : [math]321 log_3(123) in (324, 325)[/math] et 2., [math]123 log_3(321) in (127, 128)[ /math]
De toute évidence, tout nombre dans la plage exclusive de 324 à 325 est supérieur à tout nombre dans la plage exclusive 127 à 128, ainsi :
[math]321 log_3(123) > 123 log_3(321) Rightarrow 123^{321} > 321^{123}[/math] [A]
Revenons maintenant à votre question : quel nombre est le plus grand [math]123^{321}[/math] ou [math]320^{123}[/math] ?
[math]321 > 320 Rightarrow 321^{123} > 320^{123}[/math] [B]
En combinant A & B, nous avons [math]123^{321} > 321^{123} > 320^{123} Rightarrow 123^{321} > 320^{123}[/math]
Réponse : [math]123^{321} > 320^{123}[/math]
Quel nombre est le plus grand ? [math]123^{321}[/math] ou [math]320^{123}[/math] ?
En prenant la base de log 123 des deux côtés, nous obtenons respectivement [math]321log_{123}(123)[/math] et [math]123log_{123}(320)[/math]. Par définition [math]log_{123}(123)=1[/math]. Aussi comme [math]123^2>320[/math] puis [math]2>log_{123}(320)[/math]. On a donc ça :
[math]qquad 321log_{123}(123)=321 > 123times 2 > 123log_{123}(320) [/math]
Comme la fonction log augmente de manière monotone (préserve l’ordre), cela signifie que [math]123^{321}>320^{123}[/math].
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